引言：

        多物理场的计算，需要强大的计算机计算能力为后盾。计算机计算能力的提升使得有限元分析由单场分析到多场分析变成现实，未来的几年内，多物理场分析工具将会给学术界和工程界带来震惊。单调的“设计－校验”的设计方法将会慢慢被淘汰，虚拟造型技术将让科学家们的思想走得更远。

 
一、数值计算概述

        现代科学技术问题通常有三种研究方法：理论推导、科学实验和科学计算。科学技术可以帮助科学家揭示用物质实验手段尚不能表现的科学奥秘和科学规律，同时，它也是工程科学家的研究成果——理论、方法和科学数据的归总，成为推动工程和社会进步的最新生产力。数值计算方法则是科学计算核心。

        数值计算技术诞生于上个世纪五十年代初，Bruce, G. H.和Peaceman, D. W.模拟了一维气相不稳定径向和线形流。受当时计算机能力及解法限制，数值计算技术只是初步应用于求解一维问题。随着计算机技术和计算方法的发展，复杂的工程问题也可以采用离散化的数值计算方法并借助计算机得到满足工程要求的数值解。

        数值计算可理解为用计算机来做实验，比如某一特定LED（发光二极管）工作过程中内部电流密度、温度及热应力问题，通过计算并显示其计算结果。我们可以看到LED 内部电流密度是否存在拥挤现象，内部温度分布的各个细节，以及由于温度的变化引起的应力集中是否存在，它的位置、大小及其随时间的变化等。

        我们可以将数值计算分为以下几个步骤：

        首先要建立反映问题本质的数学模型。具体说就是要建立反映问题中各物理量之间的偏微分方程及其相应的定解条件，这是数值计算的出发点。比如牛顿型流体流动的数学模型就是著名的纳维—斯托克斯方程及其相应的定解条件。

        数学模型建立之后，接下来就是求解这个模型。需要寻求高效、高准确度的计算方法。求解科学问题就是求解偏微分方程。

        在确定了计算方法后，就可以开始编制程序并进行计算。实践表明这一部分工作是整个工作的主体，会占据整个工程的绝大部分时间。随着软件技术的发展，出现了应用于各领域的商业软件，运用这些软件使得这部分工作得到大大简化，缩短了模拟过程的周期。这样，科研人员能够将自己的时间和精力更多的投入到自己研究的问题上，而不是编写计算代码。

        通过上述描述，用数值计算方法解决科学计算问题的一般过程可以用如下流程来形象地描述：

        实际问题→数学模型→计算方法→计算程序→计算机计算→结果分析

        在计算工作完成后，需要处理大量的计算结果数据。计算结果的图形后处理也是一项十分重要的工作。现在很多模拟工具已经能将图形编辑成连贯动画进行播放。

        数值计算具有很多优点，但是它也有自己的局限性：

        1、数值计算的结果是离散的，并且一定有误差，这是数值计算方法区别与解析法的主要特征。因此，如何控制数值误差，提高计算的精确度成为一款数值计算软件追求的首要目标。

        2、数值计算的稳定性。控制误差的增长势头，保证计算过程稳定是数值计算方法的核心任务之一。特别是非线性问题的计算，往往出现计算结果不收敛，甚至得不到计算结果。

        3、计算规模依赖于计算机硬件的发展。以气象研究为例，模拟1 平方公里、1 公里高度的一个区域，长宽高各自离散1000 个网格，而耦合计算的基础方程为5 个，计算规模将达到1000G的自由度。现在，全世界最快的千万亿次的超级计算机计算能力也仅仅达到1000G 自由度。

        4、多物理场耦合分析的局限性。人们针对各个科学和工程领域发展出各自的计算方法，并且开发出来相当多优秀的数值计算软件。但是，不同的算法、不同的软件平台下，多个物理场之间数据的传输将会遇到非常多的问题：数据存储格式的差异带来数据传输的丢失，不同软件之间的算法不统一导致无法实现多个物理场实时的耦合，以及编写接口软件带来的额外工作开销等问题，都将极大的限制了多物理场耦合分析的应用范围。

二、几种常见数值计算方法

        1.、FDM

        有限差分方法（FDM）是计算机数值模拟最早采用的方法，它将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

        差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长必须根据实际的情况和稳定条件来决定。这限制了有限差分方法的应用范围，有限差分方法通常在电磁场分析中应用较多。

        2、FEM

        有限元方法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将偏微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

        有限元方法适用性强，它最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展以及各个学科理论研究的深入，慢慢用于流体力学、电动力学、土力学、热力学等等领域。

        3、FVM

        有限体积法（FVM）又称为控制体积法，它将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的偏微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数）。这限制有限体积法的应用范围，有限体积法通常在流体分析中应用较多。

        4、几种方法比较分析

        有限差分方法相对比较直观，但是难以处理不规则区域，对区域的连续性等要求比较苛刻。使用有限差分方法的好处在于易于编程，易于并行计算。

        有限元方法对偏微分方程的离散较容易，适合处理复杂区域，并且计算精度可靠。

        对于能使用偏微分方程描述的物理问题，都能使用有限元方法进行模拟。

        有限体积法适于流体计算，可以应用于不规则网格，但由于有限体积法的截取误差是不定的，它的精度基本上只能是二阶。

        因此，在实用性、适用性以及扩展性方面，有限元方法方法具有更大的优势，也是现在应用最为广泛的一种数值计算方法。因此，有限元法在多物理场方面的应用有得天独厚的优势，现在出现的优秀的实用型多物理场耦合分析软件大部分是基于有限元法实现的。