1  引言
        功角是表征同步发电机运行状态和判别电力系统稳定性的重要参量^[1-4]，多年来，功角的测量得到了广泛的重视和深入的研究。已有的测量方法从原理上主要有两大类：一类是纯电气测量方法，即采集同步发电机的输出电压、电流或/和其他电气量，进而通过理论分析和计算来获得功角。该类方法最简化的情况就是基于稳态公式或相量图的解析计算法，它在系统稳态运行且发电机的参数比较精确时，能比较准确地计算出功角，而在系统暂态过程中，由于参数时变性、机组铁心饱和等的影响，方法所依赖的解析公式不能成立，导致较大的计算误差。另一类方法需要借助非电量传感器（包含光电或磁电变换）来实现测量。常见的作法是^[1-4]，在转子轴上设置机械测点或测速齿轮，在转子周围安装光电、电刷或电磁装置，后者接收由前者产生的脉冲信号或其它与转子位置或速度相关的量，进而通过一定的变换来实现功角的测量（以下简称脉冲法）。脉冲法往往需要对发电机本体进行不同程度的改造，工艺复杂，而且由于采用非电量传感器，需借助于比较复杂的信号处理和误差补偿技术，以去除诸如机械加工误差、信号传输延时、轴体扭振等导致的结构性误差；而且针对个案提出的方法很难适用于别的发电机，导致实现代价较大。除了上述两大类常见方法外，还有学者研究了一些很别致的测量方法，如文[5]提出的应用多层前向神经网络的映射功能，通过仿真数据训练并进而用来测量发电机功角的方法，文[7]提出的通过分析机组端电压的零序谐波分量来测量功角的方法，但这些方法的可靠性有待于在实际电力系统进行验证。
        本文提出的方法，属于纯电气测量的范畴。它在已知发电机部分参数的前提下，只需采集机组端电压和电流，通过数字信号处理，就能估计出发电机的功角。作者将该方法集成到同步相量测量单元（PMU）中，并进而开发了“电网广域动态监测系统”。2003年3月在清华大学的“电力系统大型发电设备安全控制与仿真国家重点实验室”完成了“电网广域动态监测系统”的动态模拟试验（以下简称动模试验），其中重点测试了本文提出的功角估计方法，并与脉冲法进行了对比。
2  数学模型与定义
2.1  基本关系式
        假定同步发电机为理想电机（即忽略磁饱和、磁路/绕组不对称和磁动势/磁通的谐波分量的影响），用d-q同步坐标系中的派克方程模型来描述，设转子d轴上包含励磁（f）绕组和阻尼（D）绕组，q轴包含两个阻尼（Q、K）绕组，忽略0轴，采用标么值描述，则存在如下关系式^[1]

式中  D表示时域或复频域的微分算子；上述方程及本文其余部分用到的一些典型变量的定义，除特别指出外，均参考文[6]。
        将式(4)代入式(3)，进而代入式(2)，得到

    将式(8)代入式(7)，进而代入式(6)和式(1)，得到


    对方程式(14)两端依次作逆派克变换和正序变换，并经整理化简，可以得到如下方程组

U_r 、U_i 、I_r 、I_i 分别为发电机端电压和输出电流的正序相量的实部和虚部。
2.2  同步发电机功角的定义
        定义功角δ 为
    δ=θ-θ_ref            (19)
式中θ_ref为转子电角度的参考值，在多机电力系统中，由于功角的相对值才有意义，因此 θ_ref 的选取主要是视方便而定，它可以取为某参考机组的转子电角度或系统惯性中心（COI）的等值电角度，甚至是稳态角频率的积分。
    ，w_ref 为系统转子角频率参考值（系统稳态角频率或惯性中心角频率）；

这么定义功角δ ，使得系统中任意2台机组之间的功角差反映了机组转子间的相对位置，进而可以应用功角来表征系统的运行状态和稳定水平。
3  估计算法
         功角估计算法包括两个环节，即首先在一定的假设条件下利用前一节推导的关系式来计算发电机功角，其次针对假设条件在机组次暂态过程中存在误差，利用摇摆方程对计算结果作进一步修正。
        第一个环节用到了如下假设条件

        （2）暂态过程中，Q 绕组电流衰减很快，故忽略式(12)中的I_Q ，从而有

    （3）△w<<w ，△w<<w_ref 。电力系统正常运行时对频率有严格的要求，故该假设能很好成立。
         利用前一节推导的关系式计算发电机功角的方法为：以△T 为间隔采集发电机三相输出电压、电流，然后执行以下步骤：







其中arg(^.) 表示计算矢量的相位角；至此，针对每次采样数据得到了相应的功角估计值。
        以上计算功角的方法是基于假设条件（1）~（3）的，而在系统遭受大扰动（如短路）后的历时数十至数百毫秒的次暂态过程中，机组参数是时变的，同时铁心可能饱和，使得前述假设条件与实际情况有差异，从而导致利用上述方法计算的功角存在一定的误差，故需作进一步的修正处理。考虑发电机摇摆方程

假设在（次）暂态过程中，原动机功率变化很慢，或P_m=P_e/(1+DT_w) ，则可以得到从P_e 到△w的近似传递函数

进而有如下修正方法：
        （1）令由第一个环节得到功角为δ₀(t) _。
        （2）根据式(24)用数值方法计算△w 。
        （3）计算次暂态程度指数λ 。λ 是一个表明系统当前状态远离次暂态的程度的系数， λ→0 表示系统正处在次暂态过程中，λ→1 表示扰动后的（次）暂态过程基本结束。λ 的计算方法为


        上述计算方法的含义为：保存最近的时间长度约为2倍次暂态时间常数内的端电压有效值，以当前端电压有效值偏移这段时间内的端电压有效值的程度来近似确定当前状态远离次暂态的程度。常数k₁,k₂ 的选取原则是：当偏移值在允许的静态误差范围内（如1％）时，λ(t) 约为1；当偏移值超出允许的动态误差范围（如20％）时，λ(t) 接近0。

        将上述功角测量算法集成到开发的PMU中，当PMU安装在发电机组出口高压/低压母线上时，就可以通过适当的参数配置，对电网中的发电机功角进行同步测量，进而为实现广域电网的动态安全监控提供了更有利的条件。
4  动模试验结果
        图1所示为动模试验系统，包括2台发电机和1个等值无穷大电源，主要的网络参数已在图中标出，在母线1、2和3处各设置1个PMU。在机组G2上安装了脉冲法测角装置，其基本原理是：在转轴上设置金属接触电极，环绕转轴设置固定的碳刷电极，当电机转子旋转时，由于两者的接触与脱离使得附加电路输出一个脉冲序列，将其与无穷大母线电压生成的脉冲信号进行对比，进而可以求出机组的电气功角。

计算取η=0.001，T_w=5.0s,k₁=1.5, k₂=40。
        在动模试验中，PMU对PT、CT的幅值和角度误差进行了补偿，CT正常工作范围为额定值的0~30倍。为了测试算法的有效性，在如下两种扰动情况下进行试验：
        扰动1：机组G1、G2间的联络线L5无故障断开后不再重合。
        扰动2：母线5处发生三相瞬时短路故障，持续时间为0.21s。
        试验结果如图2和图3，虚线代表脉冲法实测的功角，实线为本文算法得到的功角曲线。
        从试验结果来看，在系统稳态和暂态过程后期，两种方法得到的结果吻合得很好，在扰动期间及其后一小段时间内，测量结果的差别稍大（如扰动2情况，最大达到6o），但两者的动态变化趋势是一致的。

5  结论
        （1）测量算法的推导是基于同步发电机派克方程的，考虑了转子上d 轴含励磁(f) 绕组和阻尼(D) 绕组，以及q 轴两个阻尼(Q、K) 绕组；因此，方法适用于汽轮发电机和水轮发电机。
        （2）方法利用发电机端电压、输出电流的交流采样值和部分参数来实现测量，不包括非电气传感器，故易于实现、通用性好、代价低。
        （3）动模试验结果表明，在系统稳态和暂态过程后期，新的电气测量方法与脉冲法实测的结果吻合得很好，在扰动期间及其后一段时间，两者结果的差别稍大，但具有一致的动态变化趋势；即：新方法具有令人满意的测量精度。