1  引言
    干式空心串联电抗器与并联电容器组相串联，具有限制合闸涌流和抑制谐波电流的功能。它采用多层包封并联结构，层间有通风道。每个包封又由多层小直径铝导线以轴向和径向并联的形式组成，结构如图1所示^[1]。干式空心串联电抗器设计需综合考虑电感、电流、电流密度、温升和损耗等方面的要求。传统上一般基于经验确定电抗器的内径、包封数和各个包封的径向和轴向分层数，这种设计方法由于要反复调整设计参数，繁琐费时，设计的电抗器也不能达到整体性能最优，所以有必要研究空心串联电抗器的优化设计问题。目前空心电抗器优化设计采用的方法主要是复合形法和伸缩保差法^[2-3]。但是这些优化方法具有一定的局限性，由于包封数、径向分层数和轴向分层数是整数，在优化过程中对这些设计变量要进行取整，对最后的优化结果也要进行标准规划，以使导线具有标准规格的线径。

    本文将遗传算法应用到干式空心串联电抗器的设计中，为空心串联电抗器的优化设计提供了一种新的方法。遗传算法对空心串联电抗器优化设计中的离散或连续设计变量，可以分别采用二进制^[4]或实数进行编码，对优化结果不需要进行标准规划。该方法具有较强的通用性，对不同型号的空心串联电抗器，只需给定电抗器的额定容量、额定电压和电抗率等参数，即可通过计算确定最优设计方案。
2  优化模型
    干式空心串联电抗器的优化设计是一个有约束的非线性优化问题。根据空心串联电抗器的结构特点，将电抗器的内径、包封数、各包封的径向分层数、轴向分层数和线径作为设计变量，其它变量如电流密度、损耗和重量等参数通过设计变量计算得到。将电抗器的重量W_t作为目标函数

式中  D_in为电抗器的内径；N为包封数；i=1，2，…，N；L_r(i)为第i个包封的径向分层数；L_z(i)为第i个包封的轴向分层数；L_d(i)为第i个包封中的导线线径。
    将空心串联电抗器的损耗、电流密度和温升等作为约束条件S，可表示为

式中  D为设计要求；ε为设计容差。
    采用自适应惩罚函数处理约束条件。自适应惩罚函数根据遗传操作过程中最优个体的可行性来自适应地调整惩罚因子，即若当前代的前k代最佳个体都是可行解，则减小目标函数的惩罚因子；若前k代的最佳个体都是非可行解，则增大惩罚因子；若前k代中，最佳个体既有可行解，又有非可行解，则保持惩罚因子不变。带有自适应惩罚函数的目标函数为

式中 b(i)表示第i代时目标函数值最好的个体；0<β₁<1；β₂>1；ξ为可行解区域；为非可行解区域。
3  自适应遗传算法
3.1  改进的自适应遗传算法
    遗传算法的参数中交叉概率P_c和变异概率P_m数值的大小是影响遗传算法性能的关键。P_c越大，产生新个体的速度就越快，但是P_c太大时适应度大的个体编码被破坏的可能性也增大；若P_c太小，就不易产生新的个体。对于变异概率，若P_m太大，则遗传算法变成了纯粹的随机搜索算法；若P_m太小，则不易产生新的个体。针对不同的优化问题，需要反复实验来确定P_c和P_m，而且难以找到最佳值。自适应遗传算法就是根据适应度值来动态调整P_c和P_m。文献[5]提出的自适应算法对适应度接近或等于最大适应度的个体，P_c和P_m接近或等于零，使得进化初期的优良个体几乎处在一种不发生变化的状态，而此时的优良个体不一定是全局最优解。本文作进一步的改进，如式(4)、(5)所示。

式中 f_max为种群中的最大个体适应度；f_mean为种群的平均个体适应度；f_g为要交叉的两个个体中较大的适应度。
    P_cl、P_cmin、P_ml和P_mmin均为(0, 1)区间的值，且满足：P_cl+P_cmin<1,P_ml+P_mmin<1。
    改进的自适应遗传算法使种群中适应度最大的个体的交叉率和变异率不为零，分别提高到P_cmin和P_mmin，这就相应提高了种群中优良个体的交叉率和变异率，从而使算法能跳出局部最优解。
3.2  改进的适应度线性变换
    适应度线性变换即在进化前期，对适应度小于种群平均适应度的个体，放大其适应度；而对适应度大于种群平均适应度的个体，则缩小其适应度。进化后期的处理方法与进化前期相反。由于根据进化代数区分进化前期和后期的方法误差较大，本文采用样本标准偏差来区分，如式(6)所示。

式中  M为种群数量；f_i为第i个个体的适应度。
    若种群的样本标准偏差大于给定的临界值C_r，则认为种群处在进化前期，否则认为种群处在进化后期。适应度线性变换如式(7)所示。
    f'=αf+β        (7)
α和β的取值分为以下两种情况。

个体适应度。

    进化过程中f_max和f_mean在不断变化，系数c的数值若为一固定值，则有可能对需要放大的个体适应度进行缩小，而对需要缩小的个体适应度则进行放大。为避免出现这种情况，令α=tgθ₂，则有

    这样当σ>C_r时，只需给定θ₂<π/4，即可保证对适应度小于种群平均适应度的个体进行放大；而对适应度大于种群平均适应度的个体则进行缩小。
3.3  改进的最优保存策略
    为防止最优个体在交叉和变异等遗传操作过程中编码发生变化或丢失，最优保存策略是一种行之有效的方法。对有约束条件的优化问题，这种方法存在一个缺陷，即保存的最优个体可能是非可行解。例如若当前最优个体和本代最优个体分别是非可行解和可行解，而当前最优个体的适应度大于本代最优个体的适应度，按照最优策略则需将本代最差个体用当前最优个体替换，从而将最优个体保存下来，这可能导致最后的最优个体是非可行解。为防止可行解在遗传操作过程中丢失，需要综合考虑当前最优个体和本代最优个体的适应度和可行性。设F_c和F_b分别为当前最优个体和本代最优个体的适应度。分为以下四种情况，分别采取相应的最优保存策略：
    （1）当前最优个体和本代最优个体均为非可行解，则比较其适应度。若F_c >F_b，将本代最差个体用当前最优个体替换；若F_c < F_b，将当前最优个体用本代最优个体替换；
    （2）当前最优个体为非可行解，本代最优个体为可行解，则将当前最优个体用本代最优个体替换；
    （3）当前最优个体为可行解，本代最优个体为非可行解，则将本代种群中的最差个体用当前最优个体替换；
    （4）当前最优个体和本代最优个体均为可行解，处理方法同(1)。
4  算例分析
4.1  测试
    对一个有约束的测试函数，分别采用简单遗传算法（SGA）、自适应遗传算法^[5]（AGA）和改进自适应遗传算法（NAGA）进行优化，从而检验改进自适应遗传算法的性能。测试函数为

    该测试函数的全局最优值为680.63。遗传算法参数为：种群中个体数100个，最大进化代数300代。运算100次，目标函数的最小值、最大值和平均值如表1所示。

    由表1可见改进自适应遗传算法的全局寻优能力有一定提高。
4.2  设计实例
    在空心电抗器的内径、包封数、各包封的径向和轴向分层数以及线径等设计变量确定的情况下，各层导线匝数的求解方法按照约束条件的不同，分为等电流法、等电密法、不等电密法和等电阻电压法四种方法。本文采用等电阻电压法，即以各层导线中电阻与电流的乘积相等作为约束条件求解匝数，如式(11)所示，该方法使得整个电抗器的损耗最低^[7]。

    下面以单相额定容量、额定端电压和额定电抗率分别为30kvar、317.54V和5%的空心串联电抗器为例，给出优化结果。优化前、后电抗器的外径、高度、重量和损耗如表2所示。

    从表2可看出，在满足设计要求的情况下，改进自适应遗传算法（NAGA）的优化效果最显著，每相电抗器的外径、高度、重量和损耗分别减小了3.9%、25%、29%、9.3%。
    改进自适应遗传算法优化得到的各个包封和各层导线的参数分别如表3和表4所示。采用有限元法对设计的结构参数进行校验。表5给出了电感和电流额定值与计算值的比较，可以看出电感和电流均满足设计要求。

    基于磁场-电路-流场-温度场的耦合计算方法，环境温度按空心串联电抗器的使用条件取最大值45℃，求出了空心串联电抗器的温度场分布。电抗器中的平均温度和最高温度分别为95.3℃和112.6℃，满足空心串联电抗器的B级绝缘要求。
5  结论
    本文建立了空心串联电抗器优化设计模型，以等电阻电压法作为计算方法，采用改进的自适应遗传算法对空心串联电抗器进行优化设计，提高了全局寻优能力。对不同产品型号的空心串联电抗器，只需给定相应的参数，即可完成电抗器计算，并且对设计方案不需要进行标准规划。将空心串联电抗器的优化方案与原设计方案进行比较可见电抗器的结构尺寸、重量和损耗都显著减小，表明在空心串联电抗器优化设计中采用改进的自适应遗传算法取得了良好效果。